Janbu
Janbuova metoda je obecná proužková metoda mezní rovnováhy. Je založena na splnění rovnováhy sil i momentů na jednotlivých blocích (není splněna pouze momentová podmínka na posledním nejhornějším bloku). Bloky vzniknou rozdělením oblasti zeminy nad smykovou plochou dělicími rovinami. Statické schéma bloků a sil, které na ně působí, je zachyceno na obrázku:
Statické schéma - Janbuova metoda
U každého bloku se předpokládá působení následujících sil:
Wi | - | tíha bloku, včetně přitížení, které má charakter tíhy (hmotné) a včetně vlivu součinitele vertikálního zemětřesení Kv |
Kh*Wi | - | vodorovná setrvačná síla modelující účinky zemětřesení. Kh je faktor vodorovného zrychlení při zemětřesení |
Ni | - | normálová síla na smykové ploše |
Ti | - | smyková síla na smykové ploše |
Ei , Ei+1 | - | síly, jimiž na sebe působí sousední bloky. Jsou odkloněny od vodorovné o úhel δi , resp. δi+1 , a leží ve výšce zi , resp. zi+1 nad smykovou plochou |
Fxi ,Fyi | - | ostatní vodorovné a svislé síly působící na blok |
M1i | - | moment od sil Fxi ,Fyi otáčející kolem bodu M, což je střed i-tého úseku smykové plochy |
Ui | - | výslednice pórového tlaku na i-tém úseku smykové plochy |
Pro výpočet limitní rovnováhy sil a momentů na blocích jsou v metodě Janbu zavedeny následující předpoklady:
- | dělicí plochy mezi bloky jsou vždy svislé |
- | paprsek tíhy bloku Wi prochází středem i-tého úseku smykové plochy, bodem M |
- | normálová síla Ni působí ve středu i-tého úseku smykové plochy, v bodě M |
- | poloha meziblokových sil zi je na každém bloku odhadnuta, na počátku a na konci smykové plochy je z = 0 |
Volba polohy meziblokových sil zi může výrazně ovlivnit konvergenci metody - pokud je pro daný svah zvolen špatný odhad polohy sil, nelze splnit podmínky rovnováhy na blocích (výpočet nekonverguje). Výšky zi nad smykovou plochou jsou nastaveny přibližně do jedné třetiny výšky rozhraní mezi bloky. V případě nesplnění rovnováhy program zkusí zvolit odlišné počáteční polohy sil, např. v pasivní oblasti u paty svahu mírně nad třetinu výšky a v aktivní oblasti u koruny svahu naopak mírně pod třetinu výšky rozhraní.
Řešení vychází z následujících vztahů:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
kde: | φi | - | úhel vnitřního tření zeminy na úseku smykové plochy |
ci | - | soudržnost zeminy na úseku smykové plochy | |
αi | - | sklon úseku smykové plochy |
Rovnice (1) je vztah mezi efektivní a totální hodnotou normálové síly na smykové ploše. Rovnice (2) je Mohr-Coulombova rovnice vyjadřující vztah mezi normálovou a smykovou sílou na úseku smykové plochy. Rovnice (3) je součtová výminka ve směru kolmém k i-tému úseku smykové plochy, rovnice (4) je součtová výminka ve směru i-tého úseku smykové plochy. SF je stupeň stability svahu, kterým jsou redukovány parametry zemin. Rovnice (5) je momentová výminka k bodu M, v níž ygi je svislá souřadnice působiště tíhy bloku a yM je svislá souřadnice bodu M.
Ze součtových výminek rovnováhy (3) a (4) je získán rekurentní vztah (6):
| (6) |
Z tohoto vztahu lze pro dané hodnoty úhlů δi a SF postupně dopočítat všechny meziblokové síly Ei, vycházejíce z faktu, že na počátku smykové plochy je hodnota E známá, a to E1 = 0.
Z momentové výminky (5) je odvozen vztah pro výpočet úhlů δi (7):
| (7) |
Z tohoto vztahu se pro dané hodnoty ramen zi určí úhly meziblokových sil δi, hodnoty úhlů na počátku a na konci smykové plochy jsou nulové δi = 0.
Výpočet stupně stability SF probíhá iteračním postupem s následujícími kroky:
1. | Zvolí se prvotní hodnota úhlů δi = 0 a polohy sil zi přibližně do třetiny výšky rozhraní. |
2. | Pro dané hodnoty úhlů δi se ze vztahu (6) stanoví odpovídající stupeň stability SF, a to tak, že na horním konci smykové plochy musí být hodnota En+1 = 0 |
3. | Pro hodnoty sil Ei stanovené v předchozím kroku se ze vztahu (7) vypočítá velikost úhlů δi. |
4. | Iterace končí tehdy, pokud se stupeň bezpečnosti SF dalším opakováním kroku 2 a 3 nemění. |
Aby proces iterace probíhal pokud možno stabilně, je třeba se vyhnout oblasti nestabilit řešení. K těmto nestabilitám dochází v těch bodech, kde při vyčíslování vztahu (6) dochází k dělení nulou, tj. platí vztah:
Další ošetření případné numerické nestability spočívá v kontrole velikosti parametru mα. Musí být splněna následující podmínka:
Proto je před začátkem iterace nutné nalézt nejvyšší z kritických hodnot SFmin splňujících výše uvedené podmínky. Hodnoty ležící níže než je tato kritická hranice SFminse vyskytují v oblasti nestabilit řešení, proto iterace začíná nastavením SF na hodnotu „těsně“ nad SFmin a všechny výsledné hodnoty SF vystupující v iteraci jsou větší než SFmin.
Obecně lze říci, že rigorózní metody konvergují hůře než metody jednodušší (Bishop, Fellenius). Příklady vykazující problémy s konvergencí zahrnují např. příliš strmé úseky smykové plochy, složitou geometrii, výrazný skokový nárůst přitížení atd. Pokud metoda nespočte výsledek, doporučujeme lehce změnit zadání, např. zadat méně strmou plochu, vložit více bodů do smykové plochy atd., příp. pro výpočet použít některou z jednodušších metod.
Literatura:
Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.
Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.