Postup výpočtu
Po sestavení globální matice tuhosti s respektováním uložení konstrukce (pevné, volné či pružné uložení ve styčnících či podél linií, pružné podloží) a výpočtu pravých stran ze zatížení se výsledná soustava rovnic řeší Choleskyho metodou rozkladu na horní a dolní trojúhelníkovou matici. Využívá se přitom skutečnosti, že MKP poskytuje symetrickou a pásovou soustavu lineárních rovnic. Z primárních hodnot neznámých wz, φx a φy v uzlech se poté vypočtou vnitřní síly mx, my, mxy, vx a vy a odvozené veličiny m1, m2 jakož i hodnoty reakcí v podporách.
2D-prvky
Pro kvalitu výsledků výpočtu deskového problému metodou konečných prvků je podstatná volba typu prvků. V programu byla zvolena deformační varianta MKP s trojúhelníkovými a čtyřúhelníkovými prvky označovanými jako DKMT a DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle a Quadrilateral).
Formulace prvků je založena na diskrétní Kirchhoffově teorii ohybu tenkých desek, kterou lze považovat za zvláštní případ Mindlinovy teorie tlustých desek vycházející z těchto předpokladů:
- stlačení desky ve směru z je zanedbatelné vzhledem k absolutní hodnotě posunu Wz
- normály ke střednicové rovině desky zůstávají i po deformaci přímé, nejsou však již kolmé ke střednicové ploše desky
- normálové napětí σz je malé ve srovnání s napětími σx, σy
Prvky DKMT a DKMQ mají 9 resp. 12 stupňů volnosti - v každém uzlu vystupují tři nezávislé proměnné:
Wz | - | pružný průhyb ve směru osy z |
φx | - | pootočení kolem osy x |
φy | - | pootočení kolem osy y |
Prvky vyhovují těmto kritériím:
- matice tuhosti má správnou hodnost (nevznikají deformační stavy s nulovou energií)
- splňují tzv. patch test
- jsou vhodné pro výpočet tenkých i tlustých desek
- mají dobré konvergenční vlastnosti
- jsou výpočtově nenáročné
Při volbě typu sítě lze mírně preferovat čtyřúhelníkové prvky, které mají za předpokladu kvalitně vygenerované sítě obecně lepší vlastnosti než trojúhelníkové.
1D-prvky
Deska může být vyztužena nosíky, pro něž je implementován jednorozměrný roštový prvek s posunutími Wz, φx a φy a výslednými vnitřními silami M1, M2 a V3 (torzní, ohybový moment a posouvající síla), který je kompatibilní s deskovými prvky (podrobnosti v literatuře). Nosník je charakterizován momenty setrvačnosti It a I2 (torze, ohyb), plochou A a smykovou plochou As. Tyto průřezové charakteristiky je možné v programu dopočítat podle typu průřezu z jeho geometrických rozměrů. Ve výpočtu se pro nosníky vytvoří lokální matice tuhosti 6x6, které se uplatní v globální matici tuhosti konstrukce.
Literatura:
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).
Z. Bittnar, J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, ČVUT, Praha, 1992.